如图,OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=3,OC=4

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  • 解题思路:(1)由于四边形OABC是矩形,可直接根据OA、OC的长写出B点的坐标;

    (2)此题要分两种情况考虑:

    ①M在线段OA上,N在线段OC上时,即0<t≤3时,若MN=[1/2]AC,则MN是△OAC的中位线,此时OA=2OM,据此可求出t的值;

    ②M在线段AB上,N在线段BC上时,即3<t<6时,若MN=[1/2]AC,则MN是△ABC的中位线,设直线m与x轴的交点为D,可证得△AMD≌△BMN,由此可得BN=AD,进而可求出OD的长及t的值;

    (3)参照(2)的解题思路,此题也要分作两种情况:

    ①当0<t≤3时,M在线段OA上,N在线段OC上;可用t分别表示出OM、ON的长,进而可求出S、t的函数关系式;

    ②当3<t<6时,M在线段AB上,N在线段BC上;此时△OMN的面积,可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面积差求得;

    得出相关的函数解析式后,根据函数的性质及对应的自变量的取值范围,即可求出S的最大值及对应的t的值.

    (1)点B的坐标是(3,4);(1分)

    (2)当0<t≤3时,∵MN∥AC,且MN=

    1

    2AC,

    ∴M是AB的中点;

    ∴t=1.5秒;

    当3<t<6时,

    设直线m与x轴交点为D,

    ∵MN∥AC且MN=

    1

    2AC,

    ∴M为AB的中点;

    可证:△AMD≌△BMN;

    ∴BN=AD=t-3;

    ∴△BMN∽△BAC;

    BN

    BC=

    MN

    AC

    t-3

    3=

    1

    2;

    ∴t=4.5秒;

    当t=1.5秒或t=4.5秒时,MN=

    1

    2AC;(3分)

    (3)当0<t≤3时,OM=t;

    由△OMN∽△OAC,得

    OM

    OA=

    ON

    OC,

    ∴ON=

    3

    4t,S=

    2

    3t2;(4分)

    当3<t<6时,

    ∵OD=t,

    ∴AD=t-3;

    易知四边形ADNC是平行四边形,

    ∴CN=AD=t-3,BN=6-t;

    由△BMN∽△BAC,可得BM=

    4

    3BN=8-

    4

    3t,

    ∴AM=-4+

    4

    3t;

    S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO

    =12-

    3

    2(-4+

    4

    3t)-

    1

    2×(8-

    4

    3t)(6-t)-

    4

    2(t-3)

    =-

    2

    3t2+4t;

    当0<t≤3时,

    ∵抛物线S=

    2

    3t2的开口向上,在对称轴t=0的右边,S随t的增大而增大,

    ∴当t=3时,S可取到最大值

    2

    3×32=6.

    当3<t<6时,

    ∵抛物线S=-

    2

    3t2+4t的开口向下,它的顶点是(3,6),

    ∴S<6;(8分)

    综上,当t=3时,S有最大值6.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.