Question

在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，CA=CB=CC 1 =2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点

Answer 1

（Ⅰ）中点（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC ₁为 x 轴、y轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C ₁（0，0，2），

设G（0，2，h），则

∴－1×0+1×（－2）+2h="0. " ∴h=1，即G是AA ₁的中点.

（Ⅱ）设

是平面EFG的法向量，则

所以

平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）

∵

∴

，即AC ₁与平面EFG所成角

为

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC. 又CC ₁⊥平面ABC，而ED

平面ABC，∴CC ₁⊥ED.

∵CC ₁∩AC=C，∴ED⊥平面A ₁ACC ₁.

又∵AC ₁⊥EG，∴AC ₁⊥DG.

连结A ₁C，∵AC ₁⊥A ₁C，∴A ₁C//DG.

∵D是AC的中点，∴G是AA _­1的中点.

（Ⅱ）取CC ₁的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，

∴E、F、M、G共面.作C ₁H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB ₁C ₁C，

C ₁H

平面BB ₁C ₁C，∴AC⊥G ₁H，又AC//GM，∴GM⊥C ₁H. ∵GM∩FM=M，

∴C ₁H⊥平面EFG，设AC ₁与MG相交于N点，所以∠C ₁NH为直线AC ₁与平面EFG所成角θ.

因为