Question

如图，矩形纸片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN

Answer 1

解题思路：①首先根据矩形的性质可得AM∥DN，再根据平行线的性质可得∠KNM=∠1，由折叠可得∠KMN=∠1，进而得到∠KNM=∠KMN，根据等角对等边可得KN=KM，得到△MNK是等腰三角形；

②利用将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC，即可得出△MNK是钝角三角形；

③根据当KN=AD=3时，△MNK最小面积求出即可；

④此题要分两种情况进行讨论：①将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合；②将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC，分别进行计算即可．

①如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1．

∵∠KMN=∠1，

∴∠KNM=∠KMN．

∴KN=KM，

∴△MNK是等腰三角形，故此选项正确；

②如图3，△MNK可是钝角三角形，故此选项正确；

③如图1，当KN=AD=3时，△MNK最小面积为：[1/2]×3×3=4.5，故此选项正确；

④分两种情况：

情况一：如图2，将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．

设MK=MD=x，则AM=9-x，

在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（9-x）²+3²，

解得，x=5．

即MD=ND=5，

故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=9×3×[1/2]-4×3×[1/2]=7.5．

情况二：如图3，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．

设MK=AK=CK=x，则DK=9-x，

同理可得x²=（9-x）²+3²，

解得：x=5，

即MK=NK=5．

故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=[1/2]×9×3-[1/2]×4×3=7.5，故此选项正确；

故正确的有4个．

故选：D．

点评：

本题考点： 翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．