三问
①证明：f(x)=(x²+ax+a)/x=x+ a/x +a,
当0＜a＜1时,f（x）为一个勾勾函数向上平移所得,可知在x∈[1,+∞）上单调递增
当a=0时,f（x）=x,可知在x∈[1,+∞）上单调递增
当a＜0时,x为一个增函数,a/x（a＜0）为增函数,两者相加后定仍为增函数,且这里定义域没有0的干扰,所以在x∈[1,+∞）上单调递增
综上得f（x）在x∈[1,+∞）上单调递增
LZ也可以用作差法,估计那个更简单.
②3m≥1,5-2m≥1,3m＞5-2m→ 1＜m≤2
③原问题转化为x²+（2+a）x+a+10＞0在x属于【1,3】间恒成立
设f（x）=x²+（2+a）x+a+10,对称轴-（2+a）/2
分类讨论：
Ⅰ-（2+a）/2≤1
f（1）＞0
解得a≥-4
Ⅱ1≤-（2+a）/2≤3
△＜0
解得-6＜a≤-4
Ⅲ-（2+a）/2≥3
f（3）＞0
此时无解
综上得a＞-6