Question

抛物线难题已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线与A、B两点,且|AB|=5/2p,求AB所在直线方程

Answer 1

设 A(x1,y1),B(x2,y2),焦点为F(p/2,0),准线为x=-p/2

设直线方程为y=k(x-p/2),代入y²=2px,得

k²(x-p/2)²=2px

整理得 k²x²-p(k²+2)x+k²p²/4=0

所以 x1+x2=p(k²+2)/k² (1)

又 由抛物线的定义,A、B到焦点F的距离等于到准线的距离,所以

|AB|=x1+p/2+x2+p/2=x1+x2+p

所以 x1+x2+p=5p/2,

x1+x2=3p/2 (1)

对比（1）（2）得

p(k²+2)/k²=3p/2,2k²+4=3k²,k= ±2

AB所在直线方程为y= ±2(x-p/2)