Question

（2013•闸北区二模）设函数f（x）=lg（ax-bx）（a＞1＞b＞0），若f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞

Answer 1

由a^x-b^x＞0，得（[a/b]）^x＞1=（[a/b]）⁰，由于（[a/b]）＞1，所以x＞0，

故f（x）的定义域为（0，+∞），任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂

∴f（x₁）=lg（a^x₁-b^x₁），f（x₂）=lg（a^x₂-b^x₂）

而f（x₁）-f（x₂）=（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）=（a^x₁-a^x₂）+（b^x₂-b^x₁）

∵a＞1＞b＞0，∴y=a^x在R上为增函数，y=b^x在R上为减函数，

∴a^x₁-a^x₂＜0，b^x₂-b^x₁＜0，∴（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）＜0，即（a^x₁-b^x₁）＜（a^x₂-b^x₂）

又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，∴f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，

一方面，当a-b＞1时，由f（x）＞0可推得，f（x）的最小值大于0，

而当x∈[1，+∞），f（x）＞0，故只需x∈[1，+∞）；

另一方面，当a-b＞1时，由f（x）在[0，+∞）上为增函数，

可知当x∈[1，+∞）时，有f（x）＞f（1）＞0，即f（x）取正值，

故当a-b＞1时，f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），

故选B