Question

设等差数列{an}满足：公差d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1=35，则d的所有可

Answer 1

解题思路：先求出数列的通项公式，求出数列{a_n}中任意两项之和，根据数列{a_n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=[243/k+1−m−n]，再结合k，m，n，d∈N^*，即可求出d的所有可能取值进而求出结论．

设等差数列的公差为d，若a₁=3⁵，=243，则a_n=243+（n-1）d．

所以数列{a_n}中任意两项之和a_m+a_n=243+（m-1）d+243+（n-1）d=486+（m+n-2）d．

设任意一项为a_k=243+（k-1）d．

则由a_m+a_n=a_k可得 243+（m+n-k-1）d=0，化简可得 d=[243/k+1−m−n]．

再由k，m，n，d∈N^*，可得 k+1-m-n=1，3，9，27，81，243，

∴d=243，81，27，9，3，1，

则d的所有可能取值之和为 364，

故答案为 364．

点评：

本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题主要考查等差数列的性质．解决问题的关键在于利用数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=[243/k+1−m−n]，属于中档题．