Question

一元二次方程竞赛题1.若方程x^2-4（m-1）x+3m^2-2m+4k对任何有理数m均有有理根则k=?2.设m为有理数

Answer 1

1、判别式=16(m-1)^2-4(3m^2-2m+4k)=4m^2-24m+16-16k=4(m-3)^2-20-16k ,

根据题意,对任意有理数 m （注：全部有理数,无数个）,判别式均为完全平方数,

因此 -20-16k=0 ,解得 k= -5/4 .

2、判别式=16(m-1)^2-4(3m^2-2m+2k)=4m^2-24m+16-8k ,

根据题意,对给定的有理数 m （注：只有一个 m .这是与上题的最根本差别）,判别式为完全平方数,设判别式=n^2（n 为有理数）,则 k=(4m^2-24m+16-n^2)/8 .

n 取不同的有理数,可得不同的 k .因此有无数个 k 使方程有有理根 .