解题思路：（1）利用|f（x）|的最大值为M，绝对值不等式|a-b|+|a+b|≥|2a|推出
M≥
1
2
．
（2）利用（1）的条件和结论对-b，1+a+b，1-a+b讨论，求出求出a、b的值，确定f（x）的表达式．
（1）f（x）=x2+ax+b
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥[1/2]
[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=[1/2]，则：
1+a+b≤[1/2]…①
1-a+b≤[1/2]…②
-b≤[1/2]…③
①+②：2+2b≤1，b≤-[1/2]
③：b≥-[1/2]
∴b=-[1/2]
代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x2-[1/2]
II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=[1/2]，则：
0＞1+a+b≥-[1/2]…①
0＞1-a+b≥-[1/2]…②
0＞-b≥-[1/2]…③
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x2-[1/2]
点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．
考点点评： 本题考查一元二次不等式的应用，绝对值不等式的证明，分类讨论思想，是中档题．