Question

已知x∈（-1，1）时，f（x）=x2-ax+[a/2]＞0恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：x∈（-1，1）时，f（x）=x²-ax+[a/2]＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，按照对称轴x=[a/2]在区间（-1，1）内，区间外两种情况进行讨论，可求得f（x）的最小值，令其大于0可求．

x∈（-1，1）时，f（x）=x²-ax+[a/2]＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，

f（x）=x²-ax+[a/2]是开口向上的抛物线，对称轴是x=[a/2]，

当-1＜[a/2]＜1时，即：-2＜a＜2时，x=[a/2]时，f（x）取最小值．

∴只需f（[a/2]）=(

a

2)2−a×

a

2+

a

2＞0，即a²-2a＜0，解得0＜a＜2，

又∵-2＜a＜2，∴0＜a＜2①；

当对称轴x=[a/2]不在（-1，1）时，即a≤-2或a≥2时f（x）是单调函数，

只需f（-1）≥0，且f（1）≥0，

由f（-1）≥0得：1+a+[a/2]≥0，即a≥-[2/3]，

由f（1）≥0得：1-a+[a/2]≥0，即a≤2，

∴-[2/3]≤a≤2，

又∵a≤-2或a≥2，∴a=2②．

综合①②得：0＜a≤2．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 该题考查函数恒成立问题，考查二次函数的有关性质，考查转化思想、分类讨论思想．