已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+1+ - 知识问答

已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+1+anan＝an+2−an+1an+1(n∈N*)，则a200=（　　）

1个回答

解题思路：由数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，
a
n+1
+
a
n
a
n
＝
a
n+2
−
a
n+1
a
n+1
(n∈
N
*
)
，知
a
n+2
a
n+1
−
a
n+1
a
n
＝2
，故
a
n+1
a
n
＝2+2(n−1)＝2n
，由此能导出
a
n
＝(n−1)!•
2
n−1
，从而能求出a₂₀₀．
数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，
an+1+an
an＝
an+2−an+1
an+1(n∈N*)，
∴
an+1
an+1＝
an+2
an+1−1，
∴
an+2
an+1−
an+1
an＝2，
{
an+1
an}为等差数列，公差d=2，
an+1
an＝2+2(n−1)＝2n，
当n≥2时，
a2
a1＝2，
a3
a2＝4，
a4
a3＝6，
a5
a4＝8，
…
an
an−1＝2(n−1)，
∴
an
a1＝2×4×6×…×2(n−1)
=2^n-1×（n-1）!
∴an＝(n−1)!•2n−1，
∴a200＝2199•199!．
故选A．
点评：
本题考点：数列递推式．
考点点评：本题考查数列的递推式的应用，考查运算求解能力，考查推导论证能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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