已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率e=√6/3,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√3

1个回答

  • e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√6/3

    (a^2-b^2)/a^2=2/3

    a^2=3b^2 (1)

    直线AB方程为:

    bx-ay-ab=0

    ab/√(a^2+b^2)=√3/2

    a^2b^2/(a^2+b^2)=3/4 (2)

    联立(1)(2)解得:

    a^2=3 a=√3

    b^2=1 b=1

    椭圆方程为:

    x^2/3+y^2=1 (3)

    y=kx+2 (4)

    (4)代入(3)得

    x^2/3+(kx+2)^2=1

    (3k^2+1)x^2+12kx+9=0

    x1+x2=-12k/(3k^2+1)

    x1x2=9/(3k^2+1)

    y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=8/(3k^2+1)

    y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k^2x1x2+2k(x1+x2)+4=(-11k^2-5)/(3k^2+1)

    设圆心坐标为x0,y0

    x0=(x1+x2)/2=-6/(3k^2+1) y0=-6k/(3k^2+1)+2=2/(3k^2+1)

    如圆过E点,则有:

    (x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x0+1)^2+y0^2

    (x2+x1)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2=(3k^2-5)^2/(3k^2+1)^2+2/(3k^2+1)

    解得

    k=1.06127

    存在K的值.使以CD为直径的圆过E点