解题思路:(1)根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明;
(2)作直角梯形的另一高,构造一个直角三角形,根据切线长定理和勾股定理列方程,再表示出关于y的函数关系式;
(3)根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积,再根据求差法比较它们的大小.
(1)证明:∵AB是直径,AM、BN是切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM∥BN.
(2)过点D作DF⊥BC于F,则AB∥DF.
由(1)AM∥BN,∴四边形ABFD为矩形.
∴DF=AB=2,BF=AD=x.
∵DE、DA,CE、CB都是切线,
∴根据切线长定理,得DE=DA=x,CE=CB=y.
在Rt△DFC中,DF=2,DC=DE+CE=x+y,CF=BC-BF=y-x,
∴(x+y)2=22+(y-x)2,
化简,得y=[1/x](x>0).
(3)由(1)、(2)得,四边形的面积S=[1/2]AB(AD+BC)=[1/2]×2×(x+[1/x]),
即S=x+[1/x](x>0).
∵(x+[1/x])-2=x-2+[1/x]=(
x-
1
x)2≥0,当且仅当x=1时,等号成立.
∴x+[1/x]≥2,即S≥2.
点评:
本题考点: 切线的性质;矩形的性质;切割线定理.
考点点评: 此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、勾股定理以及求差法比较两个数的大小.