如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y.

2个回答

  • 解题思路:(1)根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明;

    (2)作直角梯形的另一高,构造一个直角三角形,根据切线长定理和勾股定理列方程,再表示出关于y的函数关系式;

    (3)根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积,再根据求差法比较它们的大小.

    (1)证明:∵AB是直径,AM、BN是切线,

    ∴AM⊥AB,BN⊥AB,

    ∴AM∥BN.

    (2)过点D作DF⊥BC于F,则AB∥DF.

    由(1)AM∥BN,∴四边形ABFD为矩形.

    ∴DF=AB=2,BF=AD=x.

    ∵DE、DA,CE、CB都是切线,

    ∴根据切线长定理,得DE=DA=x,CE=CB=y.

    在Rt△DFC中,DF=2,DC=DE+CE=x+y,CF=BC-BF=y-x,

    ∴(x+y)2=22+(y-x)2

    化简,得y=[1/x](x>0).

    (3)由(1)、(2)得,四边形的面积S=[1/2]AB(AD+BC)=[1/2]×2×(x+[1/x]),

    即S=x+[1/x](x>0).

    ∵(x+[1/x])-2=x-2+[1/x]=(

    x-

    1

    x)2≥0,当且仅当x=1时,等号成立.

    ∴x+[1/x]≥2,即S≥2.

    点评:

    本题考点: 切线的性质;矩形的性质;切割线定理.

    考点点评: 此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、勾股定理以及求差法比较两个数的大小.