解题思路：（1）设直线OP方程为y=kx（k≠0），将其与双曲线方程联解得到用k、a、b表示x2、y2的式子，从而得出|OP|2=x2+y2=
a
2
b
2
(1+k
2
)
b
2
−
a
2
k
2
．同理算出|OQ|2=
a
2
b
2
(1+k
2
)
k
2
b
2
−
a
2
，由此进行化简，即可得到[1
|OP
|
2
+
1
|OQ
|
2
=
1
a
2
-
1
b
2
成立；
（2）由b＞a＞0可得
1
a
2
-
1
b
2
为正数，利用基本不等式与（1）中证出的等式加以推理证明，可得当且仅当|OP|=|OQ|时，|OP|2+|OQ|2的最小值为
4
a
2
b
2
b
2
−
a
2
；
（3）根据OP⊥OQ利用三角形面积公式，可得S△OPQ=
1/2]|OP|•|OQ|，再由（1）中证出的等式结合基本不等式加以证明，可得当且仅当|OP|=|OQ|时S△OPQ的最小值是
a
2
b
2
b
2
−
a
2
．
（1）设直线OP的方程为y=kx，（k≠0）
由
y＝kx
x2
a2−
y2
b2＝1消去y，得b2x2-a2k2x2=a2b2，
解之得x2=
a2b2
b2−a2k2，从而得出y2=k2x2=
a2b2k2
b2−a2k2，
∴|OP|2=x2+y2=
a2b2
b2−a2k2+
a2b2k2
b2−a2k2=
a2b2(1+k2)
b2−a2k2．
由直线OP与OQ垂直，设OQ的方程为y=-
1/k]x，用类似于求|OP|2的方法，
可得|OQ|2=
a2b2[1+(−
1
k)2]
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；三角形的面积公式．
考点点评： 本题给出由原点O出发的两条射线OP、OQ互相垂直，且与双曲线交于点P、Q，求|OP|2+|OQ|2的最小值并求△OPQ的面积S△OPQ的最小值．着重考查了三角形的面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．
1年前
5
回答问题，请先
登录
·
注册
可能相似的问题
已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲
1年前
1个回答
（2014•吉林模拟）已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=a2c与其渐近线交于A，B两
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线
1年前
2个回答
已知双曲线x2a2−y2b2（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个
1年前
3个回答
（2004•重庆）已知双曲线x2a2−y2b2=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上
1年前
1个回答
（2013•绍兴一模）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双
1年前
1个回答
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰
1年前
1个回答
（2013•内江二模）已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝233，过点A（0，-b）和B（a，
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（4，43），则该双曲线的离心率为（ ）
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的离心率为3，若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合．
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，记c＝a2+b2，P是直线x＝a2c上一
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于______
1年前
4个回答
已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(33
1年前
1个回答
（2010•马鞍山模拟）已知双曲线x2a2−y2b2＝1，F1是左焦点，O是坐标原点，若双曲线上存在点P，使|PO|=|
1年前
1个回答
（2011•临汾模拟）已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合，则该双
1年前
1个回答
（2013•南充一模）已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（
1年前
1个回答
已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±3x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）
1年前
1个回答
你能帮帮他们吗
LGJ-150钢芯铝绞线重量1000M
1年前
1个回答
英语翻译do sth.out of the wish to do sth.
1年前
悬赏5滴雨露
2个回答
（2014•兰州一模）如图，边长为1的两种正方形卡片如图①，卡片中的扇形半径均为1；图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图
1年前
1个回答
为什么常温常压下,氯气为气体,溴单质为液体,碘单质为固体
1年前
悬赏5滴雨露
4个回答
how was the journey from the airport翻译
1年前
悬赏5滴雨露
5个回答
精彩回答
下列各组词语中，没有错别字的一项是（ ） A． 寒暄 峥嵘 烟蔼 雕梁画栋 B． 珠玑 戕害 支吾 穿流不息 C． 沾惹 撕打 惊谔 遍体鳞伤 D． 膏粱 噩梦 辐射 流言飞语
3个月前
悬赏10滴雨露
1个回答
He thought his parents _______ _______ _______ (对……苛刻) on his brother.
4个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
一株绿色开花植物的营养器官是根、种子、叶．______．
5个月前
1个回答
言山石之美者，俱在透、漏、瘦三字。此通于彼，彼通于此，若有道路可行，所谓透也；石上有眼，四面玲珑，所谓漏也；壁立当空，孤峙无倚，所谓瘦也。然透、瘦二字在在宜然，漏则不应大甚。若 处 处 有 眼 则 似 窑 内 烧 成 之 瓦 器 有 尺 寸 限 在 其 中 一 隙 不 容 偶 闭 者 矣 塞 极 而 通 偶 然 一见 始 与 石 性 相 符。 （选自《闲情偶寄》）
7个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
预警体系运行中，识别环节的主要任务是（ ）。
1年前
悬赏5滴雨露
1个回答
Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.113 s. - webmaster@yulucn.com