解题思路：（1）根据三角形内角与外角的关系可以用α表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE=90°，可分三种情况讨论并求出相应AC长；
（3）共三对△EIF、△ECB、△ACF．以△EIF∽△ABI为例说明：由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分别为∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分线，不难得出∠ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE=∠EIF，即可证得△EIF∽△ECB；即∠EBC=∠F=∠ABI，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的两三角形相似．
（1）90°+α，α．
（2））△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE=90°，所以本题分三种情况：
①若∠BAC=90°，如图1，易证∠EIC=45°，则△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=1．
②∠ABC=90°，如图2，推出∠E=[1/2]∠BAC，∴△ABC∽△ICE，∴∠ACB=∠E=[1/2]∠BAC，∴∠BAC=60°，∠ACB=30°，AC=2AB=2．
③∠ACB=90°，如图3，同2，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=30°，AC=[1/2]AB=[1/2]．
（3）写出：△EIF，△ECB，△ACF．
证明其中一个三角形与△AIB相似．如：△EIF∽△AIB．
证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE=∠BCF=[1/2]∠ACD．
同理可得出∠BAI=∠IAC=[1/2]∠BAC，∠ABE=∠IBC=[1/2]∠ABC．
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BCF=∠ECD=∠BAI+∠ABI=∠BIF，
∴∠ECB=∠EIF；
∵∠BEC=∠IEF，
∴△IEF∽△BCE；
∴∠EBC=∠F=∠ABI．
又∵∠BAI=∠IEF，
∴△BIA∽△FIE．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
考点点评： 本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质，以及三角形内角与外角的关系．