Question

一道大学概率的题 the pair (X,Y) is chosen uniformly from the set of

Answer 1

先算出有多少种可能：

X=1,Y=1,...,n-1 共n-1种可能

X=2,Y=1,...,n-2 共n-2种可能

...

X=n-2,Y=1,2共2种可能

X=n-1,Y=1共1种可能

故有1+2+...+n-1共n(n-1)/2种可能

a) P(X=k) = (n-k)/ [n(n-1)/2] =2(n-k)/n(n-1)

b) E(XY) = 加总P(X=k) * E(XY|X=k) (加总k=1,2,...,n-1)

=加总 2(n-k)/n(n-1) * k(1+...+n-k)/(n-k) =加总 2/n(n-1) * k(n-k)(n-k+1)/2

= 1/n(n-1) 加总 k[(n-k)^2 + (n-k)]

后面需要展开然后对带k的项求和,利用自然数平方和 和 自然数立方和公式.