Question

已知a>0 b>0 求证(1/(a+2b)+1/(a+4b)+1/(a+4b))^20

Answer 1

1/(a+2b)+1/(a+4b)+1/(a+6b)=(2a+8b)/((a+2b)(a+6b))+1/(a+4b)=(2(a+4b)^2+(a+2b)(a+6b))/((a+2b)(a+4b)(a+6b))

因为(a+4b)^2＞(a+2b)(a+6b)

所以1/(a+2b)+1/(a+4b)+1/(a+6b)＜(3(a+4b)^2)/((a+2b)(a+4b)(a+6b))=3(a+4b)/((a+2b)(a+6b))

所以(1/(a+2b)+1/(a+4b)+1/(a+6b))^2＜((a+4b)/((a+2b)(a+6b)))^2=(9*(a+4b)^2)/((a+2b)(a+6b))^2

因为((a+2b)(a+6b))^2=((a^2+8ab)+12b^2)^2＞((a^2+8ab)+16b^2)((a^2+8ab)+7b^2)=((a+4b)^2)*(a+b)(a+7b)

所以(9*(a+4b)^2)/((a+2b)(a+6b))^2＜(9*(a+4b)^2)/((a+4b)^2)*(a+b)(a+7b)=9/((a+b)(a+7b))

所以原式得证