Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，

Answer 1

解题思路：（I）由直棱柱的结构特征可得BB₁⊥平面ABC，进而由线面垂直的性质得到CF⊥BB₁，进而由等腰三角形三线合一可得CF⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到CF⊥平面ABB₁；

（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设E（0，0，m），分别求出平面AEB₁的法向量及平面EBB₁的法向量，结合二面角A-EB₁-B的大小是45°，构造关于m的方程，解方程求出m值，进而可得CE的长．

证明：

（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，

∴BB₁⊥平面ABC．

又∵CF⊂平面ABC，

∴CF⊥BB₁．

∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，

∴CF⊥AB．

又∵BB₁∩AB=B，BB₁⊂平面ABB₁，AB⊂平面ABB₁．

∴CF⊥平面ABB₁．

（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

则C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4）．

设E（0，0，m），平面AEB₁的法向量

n＝(x，y，z)，

则

AB1＝(−2，2，4)，

AE＝(−2，0，m)．

且

AB1⊥

n，

AE⊥

n．

于是

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算；向量语言表述线面的垂直、平行关系．

考点点评： 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，两点之间的距离运算，向量语言表示面面夹角，是一道与二面角有关的立体几何综合题，难度中档．