解题思路：（1）首先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．
（2）欲证明函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方，令
F(x)＝f(x)−g(x)＝
1
2
x
2
+lnx−a
x
2
，即证：
1
2
x
2
+lnx＜a
x
2
利用导数研究函数F（x）单调性r和极值即可证得结论，
（1）∵f′(x)＝x+
1
x＝
x2+1
x（2分）
当x∈[1，e]时，f'（x）＞0．∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．（4分）
∴fmax(x)＝f(e)＝1+
e2
2， fmin(x)＝f(1)＝
1
2．（6分）
（2）令F(x)＝f(x)−g(x)＝
1
2x2+lnx−ax2，
则F′(x)＝x+
1
x−2ax＝
(1−2a)x2+1
x．（8分）∵a＞1，∴1-2a＜-1
所以，当x＞1时，F'（x）＜0．∴F（x）在区间（1，+∞）上为减函数．（10分）
又函数F（x）在x=1处连续，且F(1)＝
1
2+0−a＜0．（11分）
∴F（x）＜F（1），即
1
2x2+lnx−ax2＜0，即
1
2x2+lnx＜ax2
所以在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．（12分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．