解析数论
analytic number theory
数论中以分析方法作为研究工具的一个分支.分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪L.欧拉的时代.欧拉证明了,对实变数s＞1有恒等式 （式中p取遍所有素数）成立,并且由此推出素数有无穷多个.欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一.随后P.G.L.狄利克雷创立了研究数论问题的两个重要工具,即狄利克雷（剩余）特征标与狄利克雷L函数,奠定了解析数论的基础.
令π（x）表示不超过.x的素数的个数,关于π（x）的研究是素数论的中心问题,黎曼在数论中引入复变函数z(s),称为黎曼z函数（见数论）,他对这个函数作了深入的研究,得到了许多重要结果.特别是 ,他建立了一个与z（s）的零点有关的表示π(x）的公式,因此研究素数分布问题的关键在于研究z（s）的性质特别是它的零点的性质.这样,黎曼开创了解析数论的一个新时期.黎曼提出一个猜想：z(s)的所有复零点都在直线Res=1/2上,这就是所谓黎曼猜想.它是尚未解决的最著名的数学问题之一.
1896年,J.阿达马与C.J.dela瓦莱-普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当x→∞时,π（x）～.x/lnx,从此解析数论开始得到迅速发展.1949年,A.塞尔伯格与P.爱尔特希分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明,当然它是很复杂的.
解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究、解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等.