Question

如图，圆C 1 ：（x﹣a） 2 +y 2 =r 2 （r＞0）与抛物线C 2 ：x 2 =2py（p＞0）的一个交点

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C ₂：x ²=2py（p＞0），解得p=2，

所以C ₂：x ²=4y

由

得

，

所以C ₂在点M处的切线方程为y﹣1=x﹣2，

令y=0有x=1．

因为抛物线在点M处的切线过圆心C ₁，所以圆心C ₁（1，0），

又因为M （2，1）在圆C ₁上所以（2﹣1） ²+1=r ²，

解得r ²=2，

故C ₁：（x﹣1） ²+y ²=2

（Ⅱ）设N（x，y），则

，

，

所以

，

令x+y﹣1=t，代入（x﹣1） ²+y ²=2得（y﹣t） ²+y ²=2，

整理得2y ²﹣2ty+t ²﹣2=0

由△=4t ²﹣8（t ²﹣2）≥0得﹣2≤t≤2

所以

的取值范围为[﹣2，2]．