Question

（类型A）已知函数f（x）=x2+2x+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x

Answer 1

解题思路：（类型A）（1）将x₁，x₂代入整理，整理出关于x₁，x₂的关系式，结合基本不等式使用条件，再由基本不等式可证．

（2）先对函数f（x）进行求导，将x₁，x₂代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x₁，x₂，有

2+

2(

x

1

+

x

2

)

x

1

2

x

2

2

−

a

x

1

x

2

＞1

恒成立，从而得证．

（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出对称轴得到函数的最大值．

（类型A）证明：（1）由 f(x)＝x2+

2

x+alnx

得

f(x1)+f(x2)

2＝

1

2(x12+x22)+(

1

x1+

1

x2)+

a

2(lnx1+lnx2)=

1

2(x12+x22)+

x1+x2

x1x2+aln

x1x2f(

x1+x2

2)＝(

x1+x2

2)2+

4

x1+x2+aln

x1+x2

2

而

1

2(x12+x22)＞

1

4[(x12+x22)+2x1x2]2＝(

x1+x2

2)2①

又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用；导数的运算；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力．