Question

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，

Answer 1

解题思路：（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令

m＝2，n＝

1

2

，即可求出

f(

1

2

)

的值；

（2）先在定义域内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后判定出f（x₁），与f（x₂）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；

（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2分）令 m＝2，n＝12，则 f(1)＝f(2×12)＝f(2)+f(12)，∴f(12)＝f(1)−f(2)＝1（4分）（2）设0＜x1＜x2，则 x2x1＞1∵当x＞1时，f（x）＜0∴f(x2x1)＜0（6分）f...

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值．

考点点评： 本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．