Question

已知抛物线M：y2=4x，圆F：（x-1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下依次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如

Answer 1

（Ⅰ）设直线l：x=ty+1，

代入抛物线方程得，y²-4ty-4=0，

设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

则|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1；

故|AB|=x₁，|CD|=x₂；

∴|AB|?|CD|=x₁x₂=

(y1y2)2

16；

而y₁y₂=-4，代入上式可得，

|AB|?|CD|=

(y1y2)2

16=1；

（Ⅱ）证明：由题意，点M（x₂，-y₂），

TA=（1+x₁，y₁），

TM=（1+x₂，-y₂），

又∵y₁y₂=-4，y₁+y₂=4t，

∴（1+x₁）（-y₂）-（1+x₂）y₁

=（2+ty₁）（-y₂）-（ty₂+2）y₁

=2ty₁y₂-2（y₁+y₂）=0．

故T，A，M三点共线；

（Ⅲ）将直线l：x=ty+1，代入圆的方程，

（1+t²）y²=1，

y_C=

?1

1+t2，x_C=1-

t

1+t2；

点S（1-

t

1+t2，-

?1

1+t2）到直线l的距离d=

|2t|

1+t2，

当t≠0时，

d=[2

1

|t|+|t|≤

2/2]=1，（当且仅当|t|=1时，等号成立）

故S到直线l的距离的最大值为1．