设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′(x)≠0.试证存在ξ、η∈(a,b),使得f′(ξ)f′(

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  • 解题思路:本题求导函数与端点函数的关系.一般考虑到使用中值定理.ξ、η可能不相等,那么可以分成两个函数分别应用中值定理.首先对分子中的ξ点应用中值定理,即可得到关于η点的表达式,再求解.

    因为函数f(x)在[a,b]上连续,所以,应用拉格朗日中值定理知:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)•(b-a)=f(b)-f(a),即f′(ξ)=

    f(b)−f(a)

    b−a.

    要求存在ξ、η∈(a,b),使得

    f′(ξ)

    f′(η)=

    eb−ea

    b−a•e−η,代入f′(ξ)=

    f(b)−f(a)

    b−a,则只需求存在η∈(a,b),使得f′(η)=

    f(b)−f(a)

    eb−ea•eη,即

    f′(η)

    eη=

    f(b)−f(a)

    eb−ea.

    显然,只需对g(x)=

    f(x)

    ex在[a,b]上应用柯西中值定理即可.

    点评:

    本题考点: 柯西中值定理;拉格朗日中值定理.

    考点点评: 本题考查柯西中值定理.易错点为对g(x)使用中值定理.本题需理解中值定理的各种应用形式.