Question

一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是3cm，母线长是5cm，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的表面积是_

Answer 1

解题思路：如图所示，作出圆锥的轴截面△SAB，可得题中球的半径恰好为△SAB的内切圆半径．因此根据三角形的面积公式算出球的半径r=[3/2]cm，再利用球的表面积公式即可算出球的表面积．

设圆锥底面圆的圆心为O，连结SO，作出圆锥的轴截面△SAB．

则SA=SB=5cm，AB=2×3=6cm．

∵Rt△SOA中，OS=

SA2−OA2=4cm，

∴△SAB的面积S_△SAB=[1/2]AB×OS=12cm²，

设圆锥的内切球半径为r，则球大圆是△SAB的内切圆，

可得S_△SAB=[1/2]（SA+SB+AB）×r=12，

即[1/2]（5+5+6）×r=12，解之得r=[3/2]cm，

∴圆锥内切球的表面积S=4πr²=4π×(

3

2)2=9πcm²．

故答案为：9πcm²

点评：

本题考点： 球内接多面体．

考点点评： 本题求给定圆锥的内切球的表面积，着重考查了圆锥的轴截面、三角形的内切圆半径求法和球的表面积公式等知识，属于中档题．