已知椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 ， - 知识问答

已知椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 ，直线l过点M（m，0）．

1个回答

（Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为（-
1
2 ，
n
2 ），
∴
(-
1
2 ) 2
4 +
(
n
2 ) 2
3 =1，解得n= ±
3
2
5 ，
所以直线l的方程为：y=±
3
2
5 （x+1）．
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．
设直线l为x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
x=ty-4
3 x 2 +4 y 2 =12 ，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂=
24t
3 t 2 +4 ， y 1 y 2 =
36
3 t 2 +4 ，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中点为（
-16
3 t 2 +4 ，
12t
3 t 2 +4 ），
∴AB的中垂线为：y-
12t
3 t 2 +4 =-t（x+
16
3 t 2 +4 ），
∴点P为（-
4
3 t 2 +4 ，0），∴P到直线l的距离d=
|
2 t 2 +12
3 t 2 +4 |
t 2 +1 =
12
t 2 +1
3 t 2 +4 ，
∵|AB|=
12
t 2 -4
3 t 2 +4
1+ t 2 ，
∴
12
t 2 +1
3 t 2 +4 =
3
2 •
12
t 2 -4
3 t 2 +4
1+ t 2 ，
∴t=±
4
3
3 ，
∴存在点P为（-
1
5 ，0）．

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