Question

（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=ex-1-x．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求最值就是先求导，然后判断单调性，继而求得最小值．

（Ⅱ）（ⅰ）公共点的个数等于h（x）=e^x-1-x-[1/2]x²零点的个数．

（ⅱ）y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的上方，令h（x）=f（x）-g（x）即h（x）=e^x-1-x-ax²＞0恒成立．再求参数的取值范围．

（Ⅰ）求导数，得f′（x）=e^x-1．

令f′（x）=0，解得x=0．

当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；

当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

故f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．

（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-x-ax²，则h′（x）=e^x-1-2ax．

（ⅰ）当a=[1/2]时，y=e^x-1-x的图象与y=ax²的图象公共点的个数等于h（x）=e^x-1-x-[1/2]x²零点的个数．

∵h（0）=1-1=0，

∴h（x）存在零点x=0．

由（Ⅰ），知e^x≥1+x，

∴h′（x）=e^x-1-x≥0，

∴h（x）在R上是增函数，

∴h（x）在R上有唯一的零点．

故当a=[1/2]时，y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有唯一的公共点．

（ⅱ）当x＞0时，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的上方

⇔当x＞0时，f（x）＞g（x），即h（x）=e^x-1-x-ax²＞0恒成立．

由（Ⅰ），知e^x≥1+x（当且仅当x=0时等号成立），

故当x＞0时，e^x＞1+x．

h′（x）=e^x-1-2ax＞1+x-1-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即a≤[1/2]时，h′（x）≥0（x＞0），

∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，又h（0）=0，

于是当x＞0时，h（x）＞0．

由e^x＞1+x（x≠0），可得e^-x＞1-x（x≠0），

从而当a＞[1/2]时，h′（x）=e^x-1-2ax＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，

此时h（x）在（0，ln2a）上是减函数，又h（0）=0，

于是当x∈（0，ln2a）时，h（x）＜0．

综上可知，实数a的取值范围为（-∞，[1/2]]．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了导数与函数的最值关系，以及函数的零点的存在性问题和参数的取值范围，属于中档题．