（1）AF=BD；证明如下： ∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），
所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；证明如下：
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
证明如下：在△BCF?和△ACD中，
，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，
即AF=AB+BF′。