Question

已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且limx→0，y→0f(x，y)-xy(x2+y2)2=1，则（

Answer 1

解题思路：根据极限可推知f（0，0）=0，然后判断f（x，y）点（0，0）的充分小的邻域内的符号即可求解．

由

lim

x→0，y→0

f(x，y)-xy

(x2+y2)2=1知，

因此分母的极限趋于0，故分子的极限必为零，

从而有f（0，0）=0；

因为极限等于1；故f（x，y）-xy～（x²+y²）²（|x|，|y|充分小时），

于是f（x，y）～xy+（x²+y²）²．

因为：f（0，0）=0；

所以：f（x，y）-f（0，0）～xy+（x²+y²）²．

可见当y=x且|x|充分小时，

f（x，y）-f（0，0）≈x²+4x⁴＞0；

而当y=-x且|x|充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈-x²+4x⁴＜0．

故点（0，0）不是f（x，y）的极值点．

故选：A．

点评：

本题考点： 极值判定定理．

考点点评： 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度．将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想．