Question

p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．

Answer 1

解题思路：本题只能从q：关于x的方程x²+mx+n=0有两个小于1的正根入手，找出关系，p⇒q用特殊值法．

若关于x的方程x²+mx+n=0有两个小于1的正根，设为x₁，x₂，则0＜x₁＜1，0＜x₂＜1，有0＜x₁+x₂＜2且0＜x₁x₂＜1．根据根与系数的关系

x1+x2＝−m

x1x2＝n得

0＜−m＜2

0＜n＜1

即-2＜m＜0，0＜n＜1，故有q⇒p．

反之，取m=-[1/3]，n=[1/2]，x²-[1/3]x+[1/2]=0，△=[1/9]-4×[1/2]＜0，

方程x²+mx+n=0无实根，所以p推不出q．

综上所述，p是q的必要不充分条件．

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 韦达定理和不等关系的应用，是解决根与系数的关系问题的一般方法，特殊值法解决否定问题有独特作用．