假设从X-1开始【为了后面2N项壹壹对应的方便】的2N+1个数,有:
(X-1)² + X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² = (X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)²
即有末N项-往前N项=第一项：
(X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)² - [ X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² ] = (X-1)²
即有N项壹壹对应：
[ (X+N)² - X² ] + [ (X+N+1)² - (X+1)² ] + …… + [ (X+2N-1)² - (X+N-1)² ]
= (2X+N)*N + (2X+N+2)*N + …… + (2X+3N-2)*N
= N * [2*N*X + (N + N+2 + N+4 + …… + 3N-2) ]
= N * [2*N*X + (2N-1)N ]
= N²* [2X + (2N-1) ] = (X - 1)²
显然,[2X + (2N-1) ]必是完全平方数,令[2X + (2N-1) ] = T² ,有
N² * T² = (X - 1)²
N *T = X - 1
X = NT + 1
将此X的形式代入[2X + (2N-1) ] = T² ：
2NT + 2 + 2N - 1 = T² 化简整理得：
T² - 2N *T - (2N + 1) = 0
解得T = 2N + 1,T = -1(舍弃)
因此有：
X = N*(2N+1) + 1 = 2N² + N + 1
因此由2009在此2N+1个数范围内,得到不等式：
2N² + N≤ 2009 ≤2N² + N + 1+2N-1
即 2N² + N≤ 2009 ≤2N² + 3N
解得唯一的整数解N = 31,则X = 1954
即从X-1=1953开始的2N+1=63个数,前32个数的平方和等于后31个数.