Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．

Answer 1

解题思路：（1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；

（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，

∴△CDP≌△ADP，

∴∠DCP=∠DAP；

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴CD∥BA，CD=BA，

∴∠CDP=∠FBP，∠BFP=∠DCP，

∴△CPD∽△FPB，

∴[DP/PB]=[CD/BF]=[CP/PF]=[1/2]，

∴CD=[1/2]BF，CP=[1/2]PF，

∴A为BF的中点，

又∵PA⊥BF，

∴PB=PF，

由（1）可知，PA=CP，

∴PA=[1/2]PB，在Rt△PAB中，

PB²=2²+（[1/2]PB）²，

解得PB=[4/3]

3，

则PD=[2/3]

3，

∴BD=PB+PD=2

3．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．

考点点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用．关键是根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性解题．