Question

已知直角三角形OAB的直角顶点O为原点,A,B在抛物线y^2=2px(p>0),

Answer 1

解1.因A、B在在抛物线y^2=2px上,故设A（m²/2p,m）,B(n²/2p,n)

∵OA⊥OB,∴向量OA●OB=0. ∴（m²/2p）（n²/2p）+mn=0,∴mn=-4p²,（m²/2p）（n²/2p）=4p²

即A,B横坐标之积为4p²,纵坐标之积为-4p².

2． 当m≠n时,KAB=2p/(m+n),故直线AB方程为：y-m=[2p/(m+n)](x- m²/2p),化简得,y=[2p/(m+n)](x-2p)

此时直线AB过定的（2p,0）, 当m=n时,易得直线AB也过定的（2p,0）.

所以直线AB过定的（2p,0）.

3． 设M（x,Y）,则KOM=y/x,由2得,KAB=y/(x-2p),∴KOM KAB=-1,∴x²-2px+y²=0即为M的轨迹方程