已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x.

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  • 解题思路:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b,根据对应项的系数相等可分别求a,b,c.

    (2)对函数进行配方,结合二次函数在[-1,1]上的单调性可分别求解函数的最值.

    (1)设f(x)=ax2+bx+c,

    则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b

    ∴由题

    c=1

    2ax+a+b=2x恒成立

    2a=2

    a+b=0

    c=1 得

    a=1

    b=−1

    c=1

    ∴f(x)=x2-x+1

    (2)f(x)=x2-x+1=(x−

    1

    2)2+

    3

    4在[-1,[1/2]]单调递减,在[[1/2],1]单调递增

    ∴f(x)min=f(

    1

    2)=

    3

    4,f(x)max=f(-1)=3

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质.

    考点点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式,及二次函数在闭区间上的最值的求解,要注意函数在所给区间上的单调性,一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值.