解题思路:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b,根据对应项的系数相等可分别求a,b,c.
(2)对函数进行配方,结合二次函数在[-1,1]上的单调性可分别求解函数的最值.
(1)设f(x)=ax2+bx+c,
则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b
∴由题
c=1
2ax+a+b=2x恒成立
∴
2a=2
a+b=0
c=1 得
a=1
b=−1
c=1
∴f(x)=x2-x+1
(2)f(x)=x2-x+1=(x−
1
2)2+
3
4在[-1,[1/2]]单调递减,在[[1/2],1]单调递增
∴f(x)min=f(
1
2)=
3
4,f(x)max=f(-1)=3
点评:
本题考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质.
考点点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式,及二次函数在闭区间上的最值的求解,要注意函数在所给区间上的单调性,一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值.