解题思路:连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,利用圆内接四边形的性质和圆周角定理可证到Q1、B、Q2三点共线,MQ1∥NQ2,进而可证到MQ1∥PH∥NQ2,然后根据平行线分线段成比例可得H为线段Q1Q2的中点,然后利用线段垂直平分线的性质就可证到结论.
连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,如图所示.
则由圆内接四边形的性质可得:
∠Q1MA+∠ABQ1=180°,∠ABQ2+∠ANQ2=180°,∠MAB=∠BQ2N.
由圆周角定理可得:
∠ABQ1=[1/2]∠AO1Q1,∠ANQ2=[1/2]∠AO2Q2.
∵∠AO1Q1=∠AO2Q2,
∴∠ABQ1=∠ANQ2,
∴∠ABQ2+∠ABQ1=∠ABQ2+∠ANQ2=180°,
∴Q1、B、Q2三点共线.
由圆内接四边形的性质可得:∠ABQ1=∠ANQ2,
∴∠Q1MA+∠ANQ2=∠Q1MA+∠ABQ1=180°,
∴MQ1∥NQ2.
∵AB⊥MN,
∴∠MAB=90°,
∴∠Q1Q2N=∠MAB=90°.
∵PH⊥Q1B,即∠Q1HP=90°,
∴∠Q1HP=∠Q1Q2N,
∴PH∥NQ2,
∴MQ1∥PH∥NQ2.
∵P为线段MN的中点,
∴H为线段Q1Q2的中点,
∴PH垂直平分Q1Q2,
∴PQ1=PQ2.
点评:
本题考点: 四点共圆;线段垂直平分线的性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质;平行线分线段成比例.
考点点评: 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的性质等知识,利用平行线分线段成比例是解决本题的关键,需要注意的是:只有证到Q1、B、Q2三点共线后,才能运用平行线分线段成比例.