如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,直线MN⊥AB于A,且分别与⊙O1,⊙O2交于M、N,P为线段MN的中点,又∠

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  • 解题思路:连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,利用圆内接四边形的性质和圆周角定理可证到Q1、B、Q2三点共线,MQ1∥NQ2,进而可证到MQ1∥PH∥NQ2,然后根据平行线分线段成比例可得H为线段Q1Q2的中点,然后利用线段垂直平分线的性质就可证到结论.

    连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,如图所示.

    则由圆内接四边形的性质可得:

    ∠Q1MA+∠ABQ1=180°,∠ABQ2+∠ANQ2=180°,∠MAB=∠BQ2N.

    由圆周角定理可得:

    ∠ABQ1=[1/2]∠AO1Q1,∠ANQ2=[1/2]∠AO2Q2

    ∵∠AO1Q1=∠AO2Q2

    ∴∠ABQ1=∠ANQ2

    ∴∠ABQ2+∠ABQ1=∠ABQ2+∠ANQ2=180°,

    ∴Q1、B、Q2三点共线.

    由圆内接四边形的性质可得:∠ABQ1=∠ANQ2

    ∴∠Q1MA+∠ANQ2=∠Q1MA+∠ABQ1=180°,

    ∴MQ1∥NQ2

    ∵AB⊥MN,

    ∴∠MAB=90°,

    ∴∠Q1Q2N=∠MAB=90°.

    ∵PH⊥Q1B,即∠Q1HP=90°,

    ∴∠Q1HP=∠Q1Q2N,

    ∴PH∥NQ2

    ∴MQ1∥PH∥NQ2

    ∵P为线段MN的中点,

    ∴H为线段Q1Q2的中点,

    ∴PH垂直平分Q1Q2

    ∴PQ1=PQ2

    点评:

    本题考点: 四点共圆;线段垂直平分线的性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质;平行线分线段成比例.

    考点点评: 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的性质等知识,利用平行线分线段成比例是解决本题的关键,需要注意的是:只有证到Q1、B、Q2三点共线后,才能运用平行线分线段成比例.