已知双曲线的中心在原点,焦点F(2,0)到一条渐近线的距离为1,试求过焦点F且与渐近线垂直的直线L被双曲线截得得线段长

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  • 设渐近线方程为y=(b/a)x,L与双曲线交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

    点F到直线y=(b/a)x距离为d=1

    |2b/a|/√[1+(b/a)²]=1

    得b/a=√3/3,b²+a²=4,得b²=1,a²=3

    于是双曲线方程为x²/3-y²=1

    L方程为y=-√3(x-2)

    联立得8x²-36x+39=0

    x1x2=39/8,x1+x2=36/8=9/2

    |AB|=[√(1+3)]√[(x1+x2)²-4x1x2]

    =2√[(81/4)-(39/2)]

    =√3

    于是所求线段长为√3