解题思路:(1)根据全等或等腰三角形的性质即可得出AO⊥BC,AO平分BC.
(2)求出∠AOC的度数,求出弧AC度数,分别求出弧CD、弧CF、弧DF、弧BF、弧GF的度数,求出∠GOF=90°,根据勾股定理求出即可.
(1)证明:连接OB,OC,
∵在△ABO和△ACO中,
AB=AC
OA=OA
OB=OC
∴△ABO≌△ACO,
∴∠BAO=∠CAO,
∴直径AD平分∠BAC;
(2)连接OG、OF,OC,
∵BC过AO中点,
∴AE=OE=[1/2]OA=[1/2]OC,
∵AO⊥BC,
∴∠OEC=90°,
∴∠OCE=30°,
∴∠AOC=60°,
即弧AC度数是60°,
∵AD为直径,
∴弧CD的度数是180°-60°=120°,
∵F为弧CD中点,
∴弧CF的度数和弧DF的度数都等于60°,
∵AO⊥BC,AO平分BC,
∴弧BD的度数=弧CD的度数,是120°,
∴弧BDF的度数是120°+60°=180°,
∵G为弧BDF的中点,
∴弧GF度数是90°,
∴∠GOF=90°,
∵OG=OF=1,
∴由勾股定理得:GF=
12+12=
2.
点评:
本题考点: 垂径定理;等边三角形的判定与性质;等腰直角三角形;圆心角、弧、弦的关系.
考点点评: 本题考查了垂径定理,勾股定理,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力.