下面用C(n,k)表示下标是n的组合数.
在(1+x)^2n中,x^n的系数是C(2n,n)；
在x(1+x)^(2n-1)中,x^n的系数是C(2n-1,n-1)；
在x^2(1+x)^(2n-2)中,x^n的系数是C(2n-2,n-2)；
.
在x^k(1+x)^(2n-k)中,x^n的系数是C(2n-k,n-k)；
.
在x^(n-1)(1+x)^(n+1)中,x^n的系数是C(n+1,1)；
在x^n(1+x)^n中,x^n的系数是C(n,0)；
将以上“x^n的系数”全部相加,得：
C(2n,n)+C(2n-1,n-1)+C(2n-2,n-2)+...+C(2n-k,n-k)+...+C(n+1,1)+C(n,0)
将上式倒着写出来,再求和：
C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+...+C(2n-2,n-2)+C(2n-1,n-1)+C(2n,n)
=C(n+1,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+...+C(2n-2,n-2)+C(2n-1,n-1)+C(2n,n)(改写了第一项的下标）
＝C(n+2,1)+C(n+2,2)+...+C(2n-2,n-2)+C(2n-1,n-1)+C(2n,n)(前两项求了和)
＝C(n+3,2)+...+C(2n-2,n-2)+C(2n-1,n-1)+C(2n,n)(前两项求了和)
＝.(始终前两项求和)
＝C(2n-2,n-2)+C(2n-2,n-2)+C(2n-1,n-1)+C(2n,n)
＝C(2n-1,n-2)+C(2n-1,n-1)+C(2n,n)
＝C(2n,n-1)+C(2n,n)
＝C(2n+1,n).
所求的x^n的系数是C(2n+1,n).