Question

已知函数f（x）=1+a•2x2x+b是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据题意和奇函数的性质可得：f（1）=3、f（-1）=-3，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，由x＜0和指数函数的单调性得：0＜2^x＜1，再求出函数f（x）的值域．

（Ⅰ）因为函数f（x）的图象经过点（1，3），

所以f（1）=3，即[1+2a/2+b=3，①

因为f（x）=

1+a•2x

2x+b]是奇函数，

所以f（-1）=-3，即

1+

1

2a

1

2+b=-3，②

由①②解得a=1，b=-1，

所以实数a，b的值为1、-1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=

1+2x

2x-1=1+

2

2x-1，

又x＜0，则0＜2^x＜1，-1＜2^x-1＜0，

所以

2

2x-1＜-2，即1+

2

2x-1＜-1，

故函数f（x）在x＜0时的值域为（-∞，-1）．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质

考点点评： 本题考查奇函数的性质，指数函数的性质的综合应用，考查待定系数法求函数的解析式．