（1）见解析（2）
（3）2
(1)以 A 为原点，
，
，
的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设 AB ＝ a ，则 A (0，0,0)， D (0,1,0)， D 1(0,1,1)，
E
， B 1( a, 0,1)，
故
＝(0,1,1)，
＝
，
＝( a, 0,1)，
＝
.
∵
·
＝－
×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴ B 1E ⊥ AD 1.
(2)假设在棱 AA 1上存在一点 P (0,0， z 0)(0≤ z 0≤1)，
使得 DP ∥平面 B 1AE .此时
＝(0，－1， z 0)．
又设平面 B 1AE 的法向量 n ＝( x ， y ， z )．
由 n ⊥
， n ⊥
，得
.
取 x ＝1，得平面 B 1AE 的一个法向量 n ＝
要使 DP ∥平面 B 1AE ，只要 n ⊥
，有
－ az 0＝0，
解得 z 0＝
.
又 DP ⊄平面 B 1AE ，
∴存在点 P ，满足 DP ∥平面 B 1AE ，此时 AP ＝
.
(3)连接 A 1D ， B 1C ，由长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1及 AA 1＝ AD ＝1，得 AD 1⊥ A 1D .
∵ B 1C ∥ A 1D ，
∴ AD 1⊥ B 1C .
又由(1)知 B 1E ⊥ AD 1，且 B 1C ∩ B 1E ＝ B 1，
∴ AD 1⊥平面 DCB 1A 1，
∴
是平面 A 1B 1E 的一个法向量，此时
＝(0,1,1)．
设
与 n 所成的角为 θ ，则
cos θ ＝
＝
.
∵二面角 A － B 1E － A 1的大小为30°，
∴|cos θ |＝cos 30°，即
＝
，
解得 a ＝2，即 AB 的长为.2