Question

对于直角三角形和钝角三角形的情形,证明垂心定理

Answer 1

已知：1）Rt△ABC中∠C=Rt∠,2）钝角△ABC中,∠ACB>Rt∠,

求证：△ABC三边上的高相交于一点

证明：1）Rt△ABC中,AC⊥BC、BC⊥AC,作CD⊥AB于点D,则△ABC三边上的高AC、BC、CD相交于一点C；

2）钝角△ABC中,作AH⊥BC于D、作BH⊥AC于E、AH交BH于点H,作直线CH交AB于F,

∠AHF+∠DCH=Rt∠,∵∠CDH=∠CEH=Rt∠,四边形CDHE内接于圆,

∠DCH=∠DEH,即∠AHF+∠DEH=Rt∠,

∵∠ADB=∠AEB=Rt∠,四边形ADCB内接于圆,

∴∠DEH=∠HAF,即∠AHF+∠HAF=Rt∠,∴HF⊥AB,

即则△ABC三边上的高AD、BE、CF相交于一点H；证毕.