已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）如图，设直线
与椭圆
交于
两点（其中点
在第一象限），且直线
与定直线
交于点
，过
作直线
交
轴于点
，试判断直线
与椭圆
的公共点个数．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）一个.
试题分析：（Ⅰ）利用
、
、
之间的相互关系与题设条件求出
、
、
的值，从而确定椭圆
的标准方程；（Ⅱ）根据题设条件分别点
、
、
的坐标，进而求出直线
的方程，再联立直线
和椭圆
的标准方程，利用
法确定直线
与椭圆
的公共点个数.
试题解析：（Ⅰ）设
，易知
，又
，得
，于是有
．
故椭圆
的标准方程为
．4分
（Ⅱ）联立
得
，
的坐标为
．故
．
依题意可得点
的坐标为
．设
的坐标为
，故