Question

（2013•自贡模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC1=2，D是棱CC1

Answer 1

解题思路：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点，我们易由勾股定理及直棱柱的结构特征得到B₁D⊥BD，B₁D⊥AB，由线面垂直的判定定理，即可得到B₁D⊥平面ABD．

（2）由（1）中结论，可得BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，结合二面角的定义，可得∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角，解Rt△ABD，即可得到平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角的大小．

（1）在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=[1/2]CC₁=1

∴B₁D=

2，同理BD=

2，

在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²，

∴∠B₁DB=90°

即B₁D⊥BD

又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，

∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D⊂平面BB₁C₁C，

∴B₁D⊥AB

又∵AB∩D=B

∴B₁D⊥平面ABD；

（2）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D

∴∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

2

∴tan∠ADB=[AB/BD]=

2

2

∴∠ADB=arctan

2

2

即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为arctan

2

2

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得B1D⊥BD，B1D⊥AB，（2）的发是证得∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C的成角的平面角．