如图,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,点B、C分别在DE、EF.(B、C分别不与E、F

1个回答

  • 解题思路:(1)由AE平分∠BAC,AB=AC,AE=AE,易证△ABE≌△ACE,则BE=CE,又四边形ADEF是菱形,可得DE=EF,即可得证;

    (2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,可证Rt△AMB≌Rt△ANC(HL),则∠MAB=∠NAC,∠MAN=∠BAC;根据等角的补角相等可得,∠D=∠MAN=∠BAC=54°,最后要分三种情况讨论求解:Ⅰ.当BD=BA时;Ⅱ.当AD=AB时;Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.

    (1)①证明:∵AE平分∠BAC,

    ∴∠BAE=∠CAE,

    又∵AB=AC,AE=AE,

    ∴△ABE≌△ACE,(2分)

    ∴BE=CE,

    ∵四边形ADEF是菱形,

    ∴DE=EF,

    ∴DB=CF,(5分)

    ②当AD=AB时,设∠D=x°,得∠FAC=∠DAB=(180-2x)°,(6分)

    由AF∥DE得∴x+2(180-2x)+54=180,

    解得x=78∴∠ABD=78°;(9分)

    (2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,

    又∵AB=AC,

    ∴Rt△AMB≌Rt△ANC,

    ∴∠MAB=∠NAC,

    ∴∠MAN=∠BAC,

    又∵∠MAN+∠MEN=180°,∠D+∠MEN=180°,

    ∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°,(11分)

    若△ADB是一个等腰三角形,下面分三种情况讨论:

    Ⅰ.当BD=BA时,得∠D=∠DAB=54°

    解得∠ABD=72°,(12分)

    Ⅱ.当AD=AB时,得∠ABD=∠D=54°,

    由∠BAC=54°得AC∥DE,

    ∴AC与AF重合,这与AC与AF不重合矛盾,

    ∴此种情况不存在.

    Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.

    综上所述:当△ADB是一个等腰三角形时,∠ABD的度数等于72°.(13分)

    点评:

    本题考点: 菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

    考点点评: 本题主要考查菱形的性质,同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质,注意题目中的“△ADB是一个等腰三角形”,哪两条边是腰,应该分情况讨论.