解题思路：（Ⅰ）由f（x）=x2+alnx-2（a＞0），知f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)＝−
2
x
2
+
a
x
，且知直线y=x+2的斜率为1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II） 由
f′(x)＝−
2
x
2
+
a
x
＝
ax−2
x
2
，推导出当
x＝
2
a
时，函数f（x）取得最小值，
y
min
＝f(
2
a
)
．因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以
f(
2
a
)＞2(a−1)
即可．由此能求出a的取值范围．
（ III）依题意得
g(x)＝
2
x
+lnx+x−2−b
，则
g′(x)＝
x
2
+x−2
x
2
．由此能推导出b的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=x2+alnx-2（a＞0），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)＝−
2
x2+
a
x，且知直线y=x+2的斜率为1．
∴f′(1)＝−
2
12+
a
1＝−1，解得a=1．
∴f(x)＝
2
x+lnx−2.f′(x)＝
x−2
x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（ II） f′(x)＝−
2
x2+
a
x＝
ax−2
x2．
由f'（x）＞0，解得x＞
2
a；由f'（x）＜0解得0＜x＜
2
a．
所以f（x）在区间(
2
a，+∞)上单调递增，在区间(0，
2
a)上单调递减．
所以当x＝
2
a时，函数f（x）取得最小值，ymin＝f(
2
a)．
因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(
2
a)＞2(a−1)即可．
∴[2
2/a+aln
2
a−2＞2(a−1)．即aln
2
a＞a，解得0＜a＜
2
e]．
所以a的取值范围是(0，
2
e)．
（ III）依题意得g(x)＝
2
x+lnx+x−2−b，则g′(x)＝
x2+x−2
x2．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，
所以
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．