Question

直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）

Answer 1

解题思路：先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y₁+y₂和y₁y₂的值，进而根据直线方程求得x₁x₂的值，最后分别表示出AO，OB的斜率令二者相乘结果得-1解可证明出两线段垂直．

证明：联立直线与抛物线方程得y²-2y-4=0

∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4

∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4

∴

y1y2

x1x2=-1

即（y1/x1）（y2/x2）=-1

k_OA=

y1

x1，k_OB=

y2

x2

∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2=-1

∴OA⊥OB

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．解决的常用即为联立方程，消元后利用韦达定理找到解决问题的突破口．