解题思路：（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=[1/2]，由于x＞0时，f（x）＜0得出
x(2+x)
2+2x
＞ln(1+x)
，考察发现，若取x=[1/k]，则可得出
2k+1
2k(k+1)
＞ln(
k+1
k
)
，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=
(1−2λ)x−λx2
(1+x)2，且f′（0）=0…3分
若λ＜[1/2]，则当0＜x＜2（1-2λ）时，f′（x）＞0，所以当0＜x＜2（1-2λ）时，f（x）＞0，
若λ≥[1/2]，则当x＞0时，f′（x）＜0，所以当x＞0时，f（x）＜0
综上，λ的最小值为[1/2]…6分
（ II）令λ=[1/2]，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
x(2+x)
2+2x＞ln(1+x)
取x=[1/k]，则[2k+1
2k(k+1)＞ln(
k+1/k)…9分
于是a2n-an+
1
4n]=[1/n+1]+[1/n+2]+…+[1/2n]+[1/4n]
=[1
2(n+1)+
1
2(n+1)+
1
2(n+2)+
1
2(n+2)+
1
2(n+1)+…+
1/4n+
1
4n+
1
4n]
=[1/2n+
1
2(n+1)+
1
2(n+1)+
1
2(n+2)+
1
2(n+2)+
1
2(n+3)+…++
1
2(2n−1)+
1
2(2n−1)+
1
4n]
=
2n−1
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；利用导数求闭区间上函数的最值；数列的求和．
考点点评： 本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度