解题思路：（1）表示出y=f（x）-g（x），用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（[1/2]）=g（[1/2]）=[1/2]，从而得h（[1/2]）=[1/2]，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，根据f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x））≥g（x）对一切x＞0恒成立即可；
（3）由（Ⅱ）先证{an}递减且[1/2]＜an＜1（n≥2），然后进行放缩：（ak-ak+1）•ak+1＜
(
a
k
−
a
k+1
)•
a
k
+
a
k+1
2
=
a
k
2
−
a
k+1
2
2
，求和利用上述结论即可证明；
（Ⅰ）y=f（x）-g（x）的定义域为{x|x＞0}，y=f（x）-g（x）=x2+
1
4−
1
2ln(2ex)，
y′=2x-[1/2x]=
4x2−1
2x，易知0＜x＜[1/2]时y′＜0，x＞[1/2]时y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，[1/2]）上递减，在（[1/2]，+∞）上递增，
所以x=[1/2]时y=f（x）-g（x）取得最小值为0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（[1/2]）=g（[1/2]）=[1/2]，所以h（[1/2]）=[1/2]，
所以可设h（x）=kx+[1/2]-[k/2]，代入f（x）≥h（x），得x2−kx+
k
2-[1/4]≥0恒成立，
所以△=（k-1）2≤0，所以k=1，h（x）=x，
设G（x）=x-[1/2]ln（2ex），则G′（x）=1-[1/2x]，
当0＜x＜[1/2]时G′（x）＜0，当x＞[1/2]时G′（x）＞0，易知G（x）≥G（[1/2]）=0，即h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；
综上，存在h（x）=x符合题目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）图象的公切线．
（Ⅲ） 先证 {an}递减且[1/2]＜an＜1（n≥2）；
由（Ⅱ）知g（x）≤x，所以an=g（an-1）≤an-1，即{an}为递减数列；
又a1=1，a2＝
1
2ln2+
1
2＞
1
2，所以a3＝g(a2)＞g(
1
2)＝
1
2，…
因为当ak＞[1/2]时总有ak+1＝g(ak)＞g(
1
2)＝
1
2，
所以[1/2]＜…＜an＜an-1＜…＜a1=1；
所以
n
k＝1(ak−ak+1)•ak+1＜
n
k＝1(ak−ak+1)•
ak+ak+1
2=
n
k＝1
ak2−ak+12
2=
a12−an+12
2＜
1−
1
4
2=[3/8]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立及数列与不等式的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对学生能力要求较高．