Question

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线相关的是（　　）

Answer 1

解题思路：要判断一个向量组是否线性相关，最直接最简单的办法就是使用定义法：倘若存在一组不全为0的数使得：这一向量组的线性组合和为0，则该向量组线性相关，否则线性无关．

对于选项A：

假设存在一组数，k，l，m，使得：k（α₁-α₂）+l（α₂-α₃）+m（α₃-α₁）=0，

化简得：（k-m）α₁+（l-k）α₂+（m-l）α₃=0，

因为：α₁，α₂，α₃线性无关，

所以：k=m，l=k，m=l，即：k=l=m，

取k=l=m=1，

则：选项A的向量组线性相关，

故A正确．

对于选项B：

假设存在一组数，k，l，m，使得：k（α₁+α₂）+l（α₂+α₃）+m（α₃+α₁）=0，

化简得：（k+m）α₁+（k+l）α₂+（l+m）α₃=0，

因为：向量组α₁，α₂，α₃线性无关，

所以可求得：k=l=m=0，

从而：选项B的向量组是线性无关的，

故选项B错误．

对于C选项：

同样有设：k（α₁-2α₂）+l（α₂-2α₃）+m（α₃-2α₁）=0，

则：（k-2m）α₁+（l-2k）α₂+（m-2l）α₃=0，

求得：k=2m，l=2k，m=2l，

即：k=l=m=0，

所以C选项中向量组线性无关

故选项C错误．

对于D选项：

同样设：k（α₁+2α₂）+l（α₂+2α₃）+m（α₃+2α₁）=0，

即：（k+2m）α₁+（l+2k）α₂+（m+2l）α₃=0，

求得：k=-2m，l=-2k，m=-2l，

即：k=l=m=0，

所以D选型的向量组线性无关，

故选项D错误．

∴故应选A

点评：

本题考点： 向量组线性相关的判别；向量组线性无关的判定与证明．

考点点评： 判断向量组的线性相关性，根据能否线性表出列出等式，然后判断系数是否全为0即可．